a 2 c 2 + b 2 c 2 = 1. ( a c) 2 + ( b c) 2 = 1. sin 2 α + cos 2 α = 1. Jedynka trygonometryczna to jeden z najczęściej występujący wzorów w zadaniach z trygonometrii. Obok przedstawiamy dowód tej tożsamości trygonometrycznej. sin 2 α + cos 2 α = 1. Powyższy wzór nosi też inne nazwy: wzór jednostkowy. jedność trygonometryczna. Tabelka Sin Cos Tg Ctg. Youtube dr pimple popper newest videos. Tabela sinus cos tg ctg. Trudiogmor Tabela Sin Cos Tg Ctg 30 45 60 from trudiogmor.blogspot.com As vrea un tabel cu valori cu cos. Sin 300 → berada pada kuadran iv → pasti negatif, sehingga jawabannya juga harus negatif. No identitātēm tg α = sin α cos α un ctg α = cos α sin α seko, ka. 1) tg α ⋅ ctg α = 1. 2) tg α = 1 ctg α; ctg α = 1 tg α. Izmantojot arī pamatidentitātisin2 α + cos2 α = 1, var iegūt jaunas sakarības. Dalot identitātes sin2 α + cos2 α = 1 abas puses ar sinusa kvadrātu, ja sin2 α ≠ 0, iegūst formulu. sin2 α sin2 W trójkącie prostokątnym oznaczmy jeden kąt ostry literką α: Boki a oraz b - to przyprostokątne trójkąta prostokątnego. Bok c - to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Przy powyższych oznaczeniach mamy następujące definicje funkcji trygonometrycznych: sinα = a c tgα = a b cosα = b c ctgα = b a. Pisząc słowami: sinα Tangens obliczamy pamiętając, że tgα= sinα cosα Czyli tgα= sinα cosα = 1 4 − √ 15 4 = − 1 √ 15 = − √ 15 15 cotangens to odwrotność tangensa, czyli: ctgα= − √ 15 Tomasz Lechowski Batory 1LO 12 kwietnia 2018 8 / 13 sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ tg(α ± β) = tgα ± tgβ 1∓ tgαtgβ ctg(α ± β) = ctgαctgβ ∓ 1 ctgβ ± ctgα Formule dvostrukog kuta: sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos2 α − sin2 α tg2α = 2tgα 1− tg2α ctg2α = ctg2α − 1 2ctgα Zadatak 1. Dokaˇzite sljede´ce formule Trigonometric Tables. Below are trigonometric tables of all 6 trigonometric functions, with angles in degrees and radians. Copies of these tables can be downloaded. Download Trigonometric Table 0 to 45 degrees. Download Trigonometric Table 46 to 90 degrees. More references on Trigonometry . B1UYk1o. Poni¿sze wzory s± prawdziwe dla dowolnych α i β. oprócz tych, dla których tgα, tgβ ctgα, ctgβ jest nieokre¶lony. Podstawowe to¿samo¶ci trygonometryczne tgα = sinαcosα = 1ctgα ctgα = cosαsinα = 1tgα sin2α + cos2α = 1 (jedynka trygonometryczna) tgα · ctgα = 1 Funkcje k±ta podwójnego sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 tg2α = 2 tgα 1 - tg 2 α ctg2α = ctg 2 α - 1 2 ctgα Funkcje po³owy k±ta sin α 2 = ± 1-cosα 2 cos α 2 = ± 1+cosα 2 Znak + lub - wybieramy zale¿nie od tego, do której æwiartki nale¿y koñcowe ramiê k±ta π2. tg α 2 = 1-cosα sinα ctg α 2 = 1+cosα sinα Funkcje trygonometryczne sumy i ró¿nicy k±tów sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ tg(α + β) = tgα + tgβ 1 - tgα · tgβ ctg(α + β) = ctgα · ctgβ - 1 ctgα + ctgβ tg(α - β) = tgα - tgβ 1 + tgα · tgβ ctg(α - β) = ctgα · ctgβ + 1 ctgα - ctgβ . Suma i ró¿nica funkcji trygonometrycznych sinα + sinβ = 2sin α + β 2 · cos α - β 2 cosα + cosβ = 2cos α + β 2 · cos α - β 2 sinα - sinβ = 2sin α - β 2 · cos α + β 2 cosα - cosβ = - 2sin α + β 2 · sin α - β 2 tgα + tgβ = sin ( α + β ) cos α · cos β ctgα + ctgβ = sin ( α + β ) sin α · sin β tgα - tgβ = sin ( α - β ) cos α · cos β ctgα - ctgβ = sin ( α - β ) sin α · sin β Funkcja trygonometryczna sinus Wykres funkcji y=sin x Własności: Parzystość Funkcja sinus jest nieparzysta Dziedzina x∈ R (zbiór liczb rzeczywistych) Przeciwdziedzina y∈ Miejsca zerowe 0 + kπ, k∈C Okres 2π Funkcja trygonometryczna cosinus Wykres funkcji y=cos x Własności: Parzystość Funkcja cosinus jest parzysta, tzn cos(-x) = cos (x) Dziedzina x∈ R (zbiór liczb rzeczywistych) Przeciwdziedzina y∈ Miejsca zerowe π/2 + kπ, k∈C Okres 2π Funkcja trygonometryczna tangens Wykres funkcji y=tg x Własności: Parzystość Funkcja tangens jest nieparzysta Dziedzina x∈ R – {x = π/2 + kπ, k∈C (zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = π/2 + kπ, k∈C) Przeciwdziedzina y∈ R Miejsca zerowe 0 + kπ, k∈C Asymptoty pionowe kπ/2, k∈C Okres π Funkcja trygonometryczna cotangens Wykres funkcji y=ctg x Własności: Parzystość Funkcja cotangens jest nieparzysta Dziedzina x∈ R – {x =0 + kπ, k∈C (zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = 0 + kπ, k∈C) Przeciwdziedzina y∈ R Miejsca zerowe π/2 +kπ, k∈C Asymptoty pionowe kπ, k∈C Okres π Wartości funkcji trygonometrycznych dla 0º, 15º, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º radiany 0 {\displaystyle 0} π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 5 π 12 {\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} stopnie 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} sin {\displaystyle \sin } 0 {\displaystyle 0} 6 − 2 4 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}} 6 + 2 4 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 1 {\displaystyle 1} cos {\displaystyle \cos } 1 {\displaystyle 1} 6 + 2 4 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 3 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 6 − 2 4 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 0 {\displaystyle 0} tg {\displaystyle \operatorname {tg} } 0 {\displaystyle 0} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 3 3 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} nieokreślony {\displaystyle {\text{nieokreślony}}} ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } nieokreślony {\displaystyle {\text{nieokreślony}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 3 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 0 {\displaystyle 0} funkcje trygonometryczne - kąty: 30, 45, 60 - matematyka, matura MATERIAŁ MATURALNY > funkcje trygonometryczne Powyższe wartości wykorzystujemy w taki sam sposób, jak wartości odczytywane z tabeli wartości funkcji, co przedstawiliśmy w poprzednim długość przeciwprostokątnej trójkąta: Rozwiązanie:Mamy do wyboru aż dwa kąty. Wybór kąta nie ma żadnego wybieramy kąt . Dla tego kąta aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (c), mając przyprostokątną bliżej położoną, musimy wybrać funkcję cosinus: α [° ] sin α cos β tg αctg β β [ ° ] 0 0,0000 0,0000 90 1 0,0175 0,0175 89 2 0,0349 0,0349 88 3 0,0523 0,0524 87 4 0,0698 0,0699 86 5 0,0872 0,0875 85 6 0,1045 0,1051 84 7 0,1219 0,1228 83 8 0,1392 0,1405 82 9 0,1564 0,1584 81 10 0,1736 0,1763 80 11 0,1908 0,1944 79 12 0,2079 0,2126 78 13 0,2250 0,2309 77 14 0,2419 0,2493 76 15 0,2588 0,2679 75 16 0,2756 0,2867 74 17 0,2924 0,3057 73 18 0,3090 0,3249 72 19 0,3256 0,3443 71 20 0,3420 0,3640 70 21 0,3584 0,3839 69 22 0,3746 0,4040 68 23 0,3907 0,4245 67 24 0,4067 0,4452 66 25 0,4226 0,4663 65 26 0,4384 0,4877 64 27 0,4540 0,5095 63 28 0,4695 0,5317 62 29 0,4848 0,5543 61 30 0,5000 0,5774 60 31 0,5150 0,6009 59 32 0,5299 0,6249 58 33 0,5446 0,6494 57 34 0,5592 0,6745 56 35 0,5736 0,7002 55 36 0,5878 0,7265 54 37 0,6018 0,7536 53 37 0,6157 0,7813 52 39 0,6293 0,8098 51 40 0,6428 0,8391 50 41 0,6561 0,8693 49 42 0,6691 0,9004 48 43 0,6820 0,9325 47 44 0,6947 0,9657 46 45 0,7071 1,0000 45 α [ °] sin αcos β tg αctg β β [ °] 46 0,7193 1,0355 44 47 0,7314 1,0724 43 48 0,7431 1,1106 42 49 0,7547 1,1504 41 50 0,7660 1,1918 40 51 0,7771 1,2349 39 52 0,7880 1,2799 38 53 0,7986 1,3270 37 54 0,8090 1,3764 36 55 0,8192 1,4281 35 56 0,8290 1,4826 34 57 0,8387 1,5399 33 58 0,8480 1,6003 32 59 0,8572 1,6643 31 60 0,8660 1,7321 30 61 0,8746 1,8040 29 62 0,8829 1,8807 28 63 0,8910 1,9626 27 64 0,8988 2,0503 26 65 0,9063 2,1445 25 66 0,9135 2,2460 24 67 0,9205 2,3559 23 68 0,9272 2,4751 22 69 0,9336 2,6051 21 70 0,9397 2,7475 20 71 0,9455 2,9042 19 72 0,9511 3,0777 18 73 0,9563 3,2709 17 74 0,9613 3,4874 16 75 0,9659 3,7321 15 76 0,9703 4,0108 14 77 0,9744 4,3315 13 78 0,9781 4,7046 12 79 0,9816 5,1446 11 80 0,9848 5,6713 10 81 0,9877 6,3138 9 82 0,9903 7,1154 8 83 0,9925 8,1443 7 84 0,9945 9,5144 6 85 0,9962 11,4301 5 86 0,9976 14,3007 4 87 0,9986 19,0811 3 88 0,9994 28,6363 2 89 0,9998 57,2900 1 90 1,0000 - 0 Fragment pochodzi z opracowania "Wybrane wzory matematyczne" 2005, Centralna Komisja Egzaminacyjna, Egzamin maturalny z matematyki, Matura 2005 Powiązane hasła Wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów, które często występują w zadaniach miara stopniowa 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° miara łukowa 0 π12 π6 π4 π3 512π π2 π 32π 2π sinus α 0 6-24 12 22 32 6+24 1 0 -1 0 kosinus α 1 6+24 32 22 12 6-24 0 -1 0 1 tangens α 0 2-3 33 1 3 2+3 - 0 - 0 kotangens α - 2+3 3 1 33 2-3 0 - 0 - Tablica wartości funkcji trygonometrycznych αsinαcosαtgαctgα0°010-1° αsinαcosαtgαctgα45°

tablica trygonometryczna sin cos tg ctg